Comienza a desempeñarse en el club barrial de baby-fútbol La Carpita de Villa Libertad a cargo de su descubridor Jorge Rodríguez, quien lo conoció a los 7 años en el Barrio San Jorge de Don Torcuato. Intentó llevarlo a Platense, pero no fue inscripto por ser demasiado delgado por lo que finalmente, es reclutado en las divisiones inferiores de Argentinos Juniors. En la Novena División, comienza como suplente. A partir de la Octava pasa a jugar de titular como mediocampista central.
En el verano de 1996, formó parte de un Seleccionado Argentino Sub-18 dirigido por José Pekerman que disputa en Uruguay la “Copa Punta del Este” y se proclamó campeón desempeñándose como volante central.

En marzo de 2009, Juan Román Riquelme en un entrevista que brinda por televisión en Canal 13 de Argentina, decide renunciar en forma definitiva e indeclinable a la Selección de fútbol de Argentina, dirigida por Diego Armando Maradona, por diferencias personales con el técnico. La razón que se supone es el comentario dicho por el director técnico acerca de su nivel en dos partidos que jugó con su actual club Boca Juniors.

Comenzó su carrera a temprana edad en el CD Nacional de su localidad, para luego incorporarse al Sporting Lisboa, con quienes debutó en la máxima categoría del fútbol portugués en 2001. Tras observarlo en un amistoso en 2003, el Manchester United FC inglés lo ficha por £12,24 millones. Después de largas negociaciones a mediados de 2009 fue traspasado al club español Real Madrid por £80 millones (€96 millones, US$132 millones), convirtiéndose en el traspaso más caro en la historia del fútbol. Realizó su primera aparición con la Selección Portuguesa en 2003 y desde 2008 fue nombrado como capitán de su seleccionado.

Los máximos logros de su carrera lo ha conseguido con el Manchester, con los cuales ganó tres Premiership, la FA Cup, dos Carling Cup, la Community Shield, la Liga de Campeones de la UEFA y la Copa Mundial de Clubes de la FIFA. Sin embargo no ha obtenido título alguno con Portugal, logró el subcampeonato en la Eurocopa 2004 de Portugal, y un cuarto lugar en la Copa Mundial de 2006 en Alemania.

Se desempeñó como defensor, y su primer equipo fue Newell’s Old Boys, donde debutó el 29 de febrero de 1976. En el año 1990 comenzó su carrera como entrenador, consiguiendo en los sucesivos años tres campeonatos de Primera División Argentina, dos con Newell’s Old Boys y uno con Vélez Sársfield.

Entre los años 1998 y 2004 dirigió a la Selección de fútbol de Argentina, con la cual obtuvo la medalla de oro en Atenas 2004. Fue elegido también como Mejor seleccionador nacional del mundo en 2001, 2° mejor seleccionador nacional del mundo en 2004, y 3° mejor seleccionador nacional del mundo en 2008.

Desde agosto de 2007 se desempeña como entrenador de la Selección de fútbol de Chile.

Goycochea fue suplente de Nery Pumpido tanto en River Plate como en la selección de Argentina. Su gran oportunidad se dio en el mundial de Italia, cuando Pumpido se lesionó en el partido de Argentina contra la entonces U.R.S.S. Siguió siendo el arquero titular de ese campeonato hasta la final contra Alemania, destacándose su actuación en las definiciones por penales ante Yugoslavia (en los cuartos de final) y ante Italia (en la semifinal). En esa última ocasión, le tapó los penales a Roberto Donadoni y Aldo Serena. En la final, estuvo cerca de tapar el penal de Andreas Brehme, por el cual Alemania terminó saliendo campeón mundial.

Goycochea jugó unos pocos meses durante 1991 en el Brest de Francia y fue el arquero titular de la Selección Nacional en las Copas América de 1991 y 1993 que Argentina ganó. Durante las eliminatorias para el Mundial de Estados Unidos, Colombia le propinó un 5-0 a la Argentina en Buenos Aires, motivo por el cual Goycochea fue muy criticado (teniendo en cuenta que en una oportunidad, Boca Jrs. le dio un 6-1 cuando éste atajaba para el Rácing Club de Avellaneda). Sin embargo, y a pesar de que Argentina se clasificó y Goycochea jugó todos los partidos preparatorios, al iniciarse el Mundial 1994 su puesto fue ocupado por Luis Islas.

El día de su retiro fue el Lunes 22 de Febrero de 1999 jugando para Newell’s Old Boys de Rosario.

Hoy en día, Goycochea se dedica al periodismo televisivo. Goycochea tiene un programa en el canal ESPN+ llamado Club De Fans, en el que consiste en llevar un jugador y que sus fanáticos que respondan el mayor número de preguntas. En este programa participaron Martin Palermo, Diego Armando Maradona, Lionel Messi entre otros. También se destacó por haber acompañado a Diego Maradona en “La Noche del 10″, un programa emitido por el Canal 13 de Buenos Aires.

Fue el máximo goleador del seleccionado argentino campeón de la Copa Mundial de Fútbol de 1978 con 6 goles, marcando 2 en la final ante Holanda y proclamándose así campeón del mundo y recibiendo la Bota de Oro del Mundial’78.

Es considerado como uno de los mejores jugadores en la historia de este deporte, siendo elegido como el Mejor Jugador del Siglo con el 53,6% de los votos en una votación oficial realizada en el sitio web de la FIFA y obteniendo la tercera ubicación en una encuesta efectuada por los miembros de la Comisión del Fútbol de esa institución y los suscriptores de la FIFA Magazine.

Maradona consiguió importantes logros deportivos tanto con la Selección Argentina como con algunos de los clubes en los que jugó. Con la selección consiguió la Copa Mundial de 1986, el subcampeonato en la Copa Mundial de 1990 y el Mundial Juvenil de 1979. Sus logros más importantes a nivel de clubes los obtuvo jugando para el Nápoles, donde ganó una Copa de la UEFA y los únicos dos scudettos que posee la institución.

Estos éxitos se vieron muchas veces empañados por su adicción a las drogas, que lo afectó tanto en su carrera futbolística, a través de las suspensiones impuestas por diversas federaciones futbolísticas, como en su salud, ya que en varias oportunidades debió ser internado en terapia intensiva debido a afecciones relacionadas con sus adicciones. Además, se vio involucrado en varios hechos judiciales de diversa índole, entre los que se encuentran el arresto en abril de 1991 por posesión de cocaína y la condena, en 1999, a dos años de prisión en suspenso por agredir a varios fotógrafos con un rifle de aire comprimido en 1994.

Tras alejarse del fútbol profesional, se incorporó al ámbito televisivo al convertirse en el conductor del programa La Noche del 10, emitido por Canal 13 a finales del 2005. También se desempeñó como vicepresidente de la Comisión de Fútbol del Club Atlético Boca Juniors entre junio de 2005 y agosto de 2006. Actualmente es el Director Técnico de la Selección de fútbol de Argentina.

Su particular estilo de juego, de portero-jugador, en la línea de Soriano, Carrizo y Hugo Gatti, y su peculiar personalidad, lo convirtieron en un ídolo en su país durante los años ochenta y noventa. Además que fue elegido por la IFFHS como el 9 mejor portero sudamericano del siglo XX en el 2004.

Higuita fue fundamental para un cambio clave en las reglas del fútbol, pues luego de su actuación en el Mundial de Italia de 90, con arriesgadas y espectaculares jugadas por fuera del área, un congreso técnico en Coverciano 1990, empezó a hablar del arquero-jugador porque, según el sistema táctico, se necesitaba impulsar un arquero que supiera utilizar los pies. Esto llevó a la norma de que si un futbolista devuelve a su propio arquero un balón con los pies, éste no puede agarrarlo con las manos.

Posteriormente Higuita se vio envuelto en numerosos escándalos que paulatinamente hicieron que su carrera decayera.

A pesar de todo, Higuita es reconocido como uno de los mejores porteros de la historia del fútbol sudamericano y una figura clave en el ascenso de Colombia dentro del panorama futbolístico internacional, siendo parte de una gran generación al lado de Carlos Valderrama, Freddy Rincón, Adolfo “el Tren” Valencia, Faustino Asprilla, Leonel Álvarez y otros.

A mediados del mes de julio de 2009 Higuita es sometido a un tratamiento para controlarle una enfermedad, causada por el parásito toxoplasma gondii, en el hospital San Vicente de Paúl de Medellin el ex jugador fue recluido aquejado de una recurrente migraña los doctores determinaron que la dolencia como toxoplasmosis.

Nació en Castilla, un barrio de clase baja de la ciudad de Medellín. Fue hijo de una madre soltera, María Dioselina Higuita, de quien tomó el apellido. Ésta moriría varios años después de su nacimiento, lo que hizo que René permaneciera al lado de su abuela Ana Felisa. Su infancia transcurrió en medio de grandes dificultades económicas, por lo que trabajó como vendedor de periódico y realizó diversos oficios para ganarse la vida.

La esposa de René Higuita se llama Magnolia y con ella tiene dos hijos, Andrés y Pamela. Además es padre de Cindy Carolina, hija de su primera esposa que falleció.

Su ingreso como portero fue muy anecdótico. En un torneo de su escuela, donde iban a escoger a los mejores jugadores para el Independiente Medellín, René era el goleador del equipo, pero se lesionó el portero y en su puesto lo pusieron a él, volviéndose el dueño indiscutible de la portería.